【建設教育強國·教育筆談】

　　作者：徐彥輝（溫州大學數理學院副教授）

　　黨的二十大報告提出，加強基礎研究，突出原創，鼓勵自由探索。科技部、教育部、中科院、自然科學基金委2019年聯合制定的《關于加強數學科學研究工作方案》指出，數學是自然科學的基礎，也是重大技術創新發展的基礎。數學實力往往影響著國家實力，幾乎所有的重大發現都與數學的發展與進步相關。

　　數學是一門充滿自由和創造力的學科，數學家們可以自由地發揮想象力，創造出新的概念及方法，探索未知的領域。想象是數學創造性思維的基本要素，想象力對于數學研究和發現至關重要。傳統的數學教育往往流于形式主義，不利于培養學生的想象力。為此，本文著重探討如何有效培養學生的數學想象力。

　　1.數學的創造需要想象和想象力

　　數學是一門完全按照符號運行的純粹理性科學，是一門抽象的基于公理化的形式化科學，具有逐級抽象的特點。數學學科的這種抽象性特點，使得不少人認為數學研究就是按部就班地從現實情境中提煉問題，發現其中的數學問題及其規律性，進而將數學問題組織成原理，并用數學語言模式描繪原理，最后，進行數學原理的驗證和進一步推廣。數學學科這種一步一步逐級抽象的特點常常使人看不到數學創造的本真過程，容易讓一些人認為數學的創造就是按部就班的機械式過程，數學創造不需要想象和想象力，從而導致數學教育中常常忽視想象和想象力的培養。

　　事實上，想象和想象力在數學創造和發現中起著極其重要的作用。數學家可以不受已有體系的思維束縛，大膽地運用想象力，發現新的數學知識。數學是一個有機的整體，它像一個龐大的、多層次的、不斷生長的、無限延伸的網絡。數學家們的工作是建立新的網絡結點，尋找新的連接，清理和整合眾多的連接，并從客觀世界汲取營養來豐富、延伸這個網絡。數學的創造大多來自數學家的直覺，它離不開想象。數學原本就是用來描述所有可想象世界的科學，它是一個邏輯上封閉的系統，在基礎公理的奠基下，可以朝各個方向無限延伸。想象的空間延展到哪兒，數學的腳步就能邁到哪兒。簡而言之，數學的世界就是一個充滿無限可能的想象世界。

　　列寧曾高度評價想象在科學創造中的重要作用，認為“幻想是極其可貴的品質”，他說，“有人認為，只有詩人才需要幻想，這是沒有理由的，這是愚蠢的偏見！甚至在數學上也是需要幻想的，甚至沒有它就不可能發明微積分。”哲學家帕斯卡爾也說，“想象的特別之處在于，它可以產生最偉大的事物。”想象是由已知深度思考未知，是探索真理寶庫的鑰匙。數學發明創造的動力很大程度上是基于想象力的發揮，數學家必須具備想象力，這樣才能發現數學知識之間隱藏的聯系，并發揮想象構思出新的數學知識。

　　最成功的數學家是知識面最寬、概念的類比能力和想象能力最強的人。正如數學家愛德華·弗倫克爾所指出的那樣：想象力在我們的工作中確實起著至關重要的作用。知名數學家、德國馬科斯-普朗克數學研究所教授唐·查吉爾也曾指出：對于數學家來說，想象力非常重要，雖然這并不代表擁有更豐富想象力的數學家就一定能做出更多的成果，但是數學家的想象力越豐富，他的數學成果的“品味”就越高級，甚至可以開創一個全新的領域。想象力是能動的知識，是創造力和智慧的必要背景。一個人可能擁有很多數學知識、數學基礎扎實，如果這個人同時又具備足夠想象力的話，就有可能創造出新的數學知識。

　　2.很多人“只是學會了計算，而不是數學”

　　想象力是一種非常重要的思維能力，被定義為“形成感官不存在的外部對象的新想法或概念的能力”。它不僅僅是一種形成圖像的能力，而是一種以特定方式思考的能力。每一個重大基礎問題的突破，都是一次想象力的飛躍。愛因斯坦非常重視想象力，他說，“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力概括著世界上的一切，推動著進步，并且是知識進化的源泉。嚴格地說，想象力是科學研究中的實在因素”。

　　想象力不是生來就有的先天素質，而是后天開拓和教育培養的結果。長期以來，我國傳統的數學教育缺乏驚奇和想象力，制約了學生創造力的發展。培養想象力不是一朝一夕就能實現的，需要我們長期堅持不懈地努力。

　　有一個論點聽起來發人深省，那就是：我們的學生可能從未學過真正的數學。正如著名數學家陳省身先生在全球數學家大會上指出的那樣：“我們每個人一生都花了很多時間學數學，但我們其實只是學會了計算，而不是數學。”其中的原因很多——刻板的教學方式、教科書和課程，以及我國數學教育傳統和考試文化對“規范”的極端重視，對“遵循規范”的過度強調與訓練。這些訓練教導學生如何依循規則找出每個問題背后統一的標準答案，實質上嚴重制約著學生想象力的發展。在這種情境下，發現數學之美、延展想象力的空間相當有限。事實上，學生在課堂中時常會有一些奇怪的想法，這些想法也許聽起來很荒唐，甚至不著邊際，但其實這正是開發學生想象力的絕好機會。而在以前的課堂上，很多教師并沒有意識到這種機會的可貴，也不擅長把握這樣的機會，這種忽視，常常導致學生創造性想象的意識被扼殺在搖籃之中。

　　　3.將想象力培養滲透到課堂各環節

　　數學不是缺乏人性色彩的單純的計算學科。在數學教學中，我們要鼓勵學生大膽想象，讓學生學會自己提出問題、自己發現、自己試錯，親身經歷創造中的挫折、產生靈感，最終形成自己的解釋和證明。學生想象力的發展應成為數學教育中必不可少的部分，必須鼓勵學生利用他們的想象力獨立思考。筆者結合多年的教學實踐，談談在數學教學中培養學生想象力的一些探索。

　　一是注重背景知識的導入，引導學生積極討論交流以激發想象。縱觀數學的發展，人們對數學的認識和了解，數學概念、問題、定理、法則、公式、理論的提出和完善，無不包含著數學家們豐富的想象力。如果在教學中適當地介紹有關背景知識，使學生了解數學猜想的提出及數學概念、問題、定理、法則、公式和理論建立的來龍去脈，不僅能激發學生的學習興趣，加深學生的理解程度，而且能使學生從數學家們研究問題的方法中得到啟發，培養學生嚴謹治學的科學態度以及善于想象的意識和能力。

　　想象力是一種多角度、多層面的思維能力，它需要圍繞某一問題朝著多種不同的方向展開思考。在課堂教學中，教師可以按照知識內容和教學要求來轉變問題的形式和視角，為學生提供發揮想象的空間，鼓勵學生積極想象，盡可能讓學生對同一問題說出不同的觀點和看法，同時支持學生相互爭辯、討論，在爭辯和討論中促進對問題的深入思考。如此一來，學生的思維被有效啟發，進而培養豐富的想象力。另外，教師還可以有意識地設計一些與教學內容密切聯系的數學想象題，采用“頭腦風暴法”引導學生進行積極討論，從不同的角度進行引導，給學生提供充分的想象空間和創造想象的機會，這種做法常常能沖破空間和物質條件的限制，拓寬學生的思維與視野，激發學生的想象，提高其數學想象力。

　　二是運用類比，啟發想象。類比是一種重要的數學思維方法，許多數學創造性思維是在類比中產生的，許多重大的數學發現也是通過類比找出相似性從而誕生的。數學創造之奇妙，很大程度上在于發現許多表面上看似毫無關聯的事物，卻在本質上有著千絲萬縷的聯系。類比想象能夠讓數學家們在差別很大的兩者之間找出共同的特征，數學家們也常常根據不同數學知識或符號在某些方面的相似性而建立起聯系，這種建立聯系的橋梁便是想象。

　　在數學教學中，運用類比想象是激發學生定向思維、培養學生數學想象力的有效方法之一。實踐中，學生如果具有類比想象的意識和眼光，常常只要理解最基本的數學知識，就可以通過類比想象出其他相應的數學知識。正確地運用類比想象，還能使學生學習的數學知識融會貫通。正如數學家烏拉姆曾指出的：所謂的數學才能，在一定范圍內正是依賴于這種發現類比的能力。培育學生數學想象的能力，需要學生在想象中積累這種通過類比發現知識之間關聯的經驗，積蓄想象的力量。

　　三是注重直觀理解和發掘知識之間的聯系以啟發想象。想象是以形象形式為主，“豐富的表象”是展開想象的前提。想象力發展的首要條件是主體本身具有一定的表象儲備，沒有表象活動，就沒有想象力。正如菲爾茨獎獲得者、法國數學家迪厄多內所說：“富有創造性的科學家與眾不同之處，在于他們對所研究的對象有一個活生生的構想和深刻的了解。”美國數學家斯蒂恩也指出：如果一個特定的問題可以被轉化為一個圖形，那么，就從思想上整體地把握了問題，并且能創造性思索問題的解法。在數學課堂教學中，要培養學生的想象力，教師就必須遵循直觀性教學原則，充分發揮實物或直觀教具的作用，同時，善于運用多媒體教學手段或直觀形象的語言為抽象的問題設計模型，讓學生獲得想象的“源泉”，這是產生想象力的沃土。

　　教學實踐中，教師可以借助各種教學方法與手段，如數形結合、注重知識之間的聯系，于不疑處設疑，一疑激發多疑，淺疑探深疑……引導學生進行縱向的朝向“深處”的探索和橫向的朝向“廣處”的發現，展開“相似性想象”與“相異性想象”，從而激活學生的思維和想象力，努力讓學生對數學知識達到直觀的本質的理解。教師還可以通過一題多解、一題多變等方法激發學生的創造性思維。

　　培養數學想象力的策略還有很多，一位好老師應該懂得在教學中怎樣激發和保護學生的想象力。要培養學生的數學想象力，教師首先要教導學生打下扎實的數學知識基礎，這是培養學生數學想象力的根基。沒有扎實寬廣的知識面，想象力就是無源之水。想象力的產生是基于經驗的，直接取決于一個人先前經驗的深刻性、豐富性、多樣性，以及他的思維方式。很難想象一個知識基礎不扎實、沒有良好思維方式的學生能有豐富的想象力。事實上，學生腦中蘊藏著無限的想象力，只要教師努力開發一切教育元素，將想象力的培養滲透到課堂的各個環節，每一個教學環節都有意識地采取正確的教學方法去啟發、誘導學生，堅持不懈地工作，埋在學生心底的想象和想象力的種子就一定能生根、發芽、開花、結果。

　　《光明日報》（2024年02月06日 15版）